Der Goldberg-Ikosaeder - Manchmalkörper zwischen Fünfeck und Sechseck

Abbildungen oben: Drei Positionen des Goldberg-Ikosaeder. Mittig die Ausgeglichene, eine Wohlexistente. Daneben die unmöglichen, komplett geplätteten Positionen. Modell aus Holz und GaffaTape (Foto: Anja Müller)
Abbildung links: Die drei wohlexistenten Positionen dargestellt als Schnittpunkte zweier Graphen. (Boris Springborn)

In einem impulsübertragenden Bewegungsmuster überführt der Goldberg-Ikosaeder das Sechseck in ein Fünfeck, während er gleichzeitig ein Fünfeck ins Sechseck überführt. Er besteht aus zwei ineinander verschränkten Korpuskeln. Man kann den einen Korpuskel platt drücken; im gleichen Moment bläht sich der andere auf. Durch diese Beweglichkeit werden Korpuskel zu Manchmalkörpern, die mal als körperhaftes Volumen, mal als volumenlose Fläche existieren. Das ist sowohl theoretisch als auch praktisch faszinierend. Aber ist es theoretisch überhaupt möglich?

Gewusst, dass Tetraeder sich nicht lückenlos stapeln lassen (vergleiche: Schlaufen Kristalle / Ikosaeder Explosion), ist es leicht zu beweisen, dass es den komplett platten Goldberg-Ikosaeder nicht gibt. Wenn ich im Gespräch mit Mathematikern vor meinen Modellen Objekten stehe, ist das ungeheuerlich, zu hören; das gibt es nicht. Wir stehen davor, wir können daran stoßen und rücken. Die Mathematiker selbst überrascht die Tatsache, dass es den Goldberg-Ikosaeder eben doch gibt, nicht als Wackelvielflach, aber durchaus mathematisch „wohlexistent“, und das in genau drei Positionen.

Wohlexistent ist die ausgeglichene Position, in der beide Korpuskel gleich dick sind. Die zwei weiteren Positionen liegen „kurz vor platt“, und im komplett geplätteten Zustand befindet sich der Goldberg-Ikosaeder im Moment der größten Abweichung. Da beide Punkte so nah beieinander liegen, geht ein aus Papier gebauter Goldberg-Ikosaeder der starken Spannung kurz vor platt mit einem leisen „plopp“ und Schieflegen aus dem Weg. Die Zerrung zwischen den drei Wohlexistenzen ist viel geringer als die Spannung kurz vor platt und kann an einem fast luftdichten Modell erlebt werden, das durch ein kleines Loch gehörig pfeift, denn auf dem Weg durch die Materialdehnung verändert der Goldberg-Ikosaeder sein Volumen.

Also sind Korpuskel und der Goldberg-Ikosaeder Manchmal-Körper auf einer zweiten Ebene. Mal existieren sie in mathematisch korrekter Weise, mal nur real, aufgrund der Toleranz des Materials, aus dem sie gefertigt wurden.

Written by Eva Wohlleben Monday, 04 February 2008 13:09